如是我闻： 在决策树模型中，Gini指数和熵（Entropy）是用来计算节点纯度的两种方法。它们都是评估分裂点的好坏，以选择最佳的属性来分裂。让我们先来了解一下这两种方法的定义，然后通过一个简单的例子来讨论它们之间的区别。
Gini指数
Gini指数是一个衡量数据分布不均匀程度的指标。在决策树中，它用于评估数据集的不纯度。Gini指数越低，数据的纯度越高。其计算公式为：
G
i
n
i
=
1
−
∑
i
=
1
n
p
i
2
Gini = 1 - \sum_{i=1}^n p_i^2
Gini=1−i=1∑npi2
其中
p
i
p_i
pi 是类别
i
i
i 在集合中的比例。
熵（Entropy）
熵是衡量数据集随机性的指标，同样用于评估数据集的不纯度。熵越高，数据的不确定性越大。其计算公式为：
E
n
t
r
o
p
y
=
−
∑
i
=
1
n
p
i
log
2
(
p
i
)
Entropy = -\sum_{i=1}^n p_i \log_2(p_i)
Entropy=−i=1∑npilog2(pi)
其中
p
i
p_i
pi 是类别
i
i
i 在集合中的比例。
好的，相信你一定纳闷他们到低是来干什么用的，下面我们来看一个生活化的例子——小朋友分水果——来解释Gini指数和熵（Entropy）如何在决策树中帮助选择分裂属性。
场景描述
假设我们在幼儿园有一个水果分发活动，有20个小朋友参加，分发的水果有苹果和香蕉。以下是小朋友的喜好列表：
- 10个小朋友喜欢苹果
- 10个小朋友喜欢香蕉
我们的目标是通过询问一个问题（属性的选择），尽可能准确地分辨出哪些小朋友喜欢苹果，哪些喜欢香蕉。
选择属性
假设我们可以询问的问题有两个：
- “你是否喜欢吃甜食？”
- “你是男孩还是女孩？”
情况一
假设第一个问题“你是否喜欢吃甜食？”的回答如下：
- 是：12个小朋友（6喜欢苹果，6喜欢香蕉）
- 否：8个小朋友（4喜欢苹果，4喜欢香蕉）
计算Gini指数
G
i
n
i
(
是
)
=
1
−
(
(
6
12
)
2
+
(
6
12
)
2
)
=
0.5
Gini(是) = 1 - ( (\frac{6}{12})^2 + (\frac{6}{12})^2 ) = 0.5
Gini(是)=1−((126)2+(126)2)=0.5
G
i
n
i
(
否
)
=
1
−
(
(
4
8
)
2
+
(
4
8
)
2
)
=
0.5
Gini(否) = 1 - ( (\frac{4}{8})^2 + (\frac{4}{8})^2 ) = 0.5
Gini(否)=1−((84)2+(84)2)=0.5
G
i
n
i
(
总体
)
=
12
20
×
0.5
+
8
20
×
0.5
=
0.5
Gini(总体) = \frac{12}{20} \times 0.5 + \frac{8}{20} \times 0.5 = 0.5
Gini(总体)=2012×0.5+208×0.5=0.5
计算熵
E
n
t
r
o
p
y
(
是
)
=
−
(
6
12
log
2
6
12
+
6
12
log
2
6
12
)
=
1
Entropy(是) = -(\frac{6}{12} \log_2 \frac{6}{12} + \frac{6}{12} \log_2 \frac{6}{12}) = 1
Entropy(是)=−(126log2126+126log2126)=1
E
n
t
r
o
p
y
(
否
)
=
−
(
4
8
log
2
4
8
+
4
8
log
2
4
8
)
=
1
Entropy(否) = -(\frac{4}{8} \log_2 \frac{4}{8} + \frac{4}{8} \log_2 \frac{4}{8}) = 1
Entropy(否)=−(84log284+84log284)=1
E
n
t
r
o
p
y
(
总体
)
=
12
20
×
1
+
8
20
×
1
=
1
Entropy(总体) = \frac{12}{20} \times 1 + \frac{8}{20} \times 1 = 1
Entropy(总体)=2012×1+208×1=1
这个问题没有很好地分离出喜好不同的小朋友，因为不论是使用Gini指数还是熵，分裂后的子集依然保持了原始分布的比例（1:1苹果与香蕉的比例）。
情况二
现在假设第二个问题“你是男孩还是女孩？”的回答分布为：
- 男孩：10个小朋友（9喜欢苹果，1喜欢香蕉）
- 女孩：10个小朋友（1喜欢苹果，9喜欢香蕉）
让我们来计算在第二个问题“你是男孩还是女孩？”的情况下，使用Gini指数和熵的具体数值，并展示这个问题如何更有效地帮助分辨小朋友的水果喜好。
计算Gini指数
首先计算每个分支的Gini指数：
G
i
n
i
(
男孩
)
=
1
−
(
(
9
10
)
2
+
(
1
10
)
2
)
=
1
−
(
0.81
+
0.01
)
=
0.18
Gini(男孩) = 1 - ( (\frac{9}{10})^2 + (\frac{1}{10})^2 ) = 1 - (0.81 + 0.01) = 0.18
Gini(男孩)=1−((109)2+(101)2)=1−(0.81+0.01)=0.18
G
i
n
i
(
女孩
)
=
1
−
(
(
1
10
)
2
+
(
9
10
)
2
)
=
1
−
(
0.01
+
0.81
)
=
0.18
Gini(女孩) = 1 - ( (\frac{1}{10})^2 + (\frac{9}{10})^2 ) = 1 - (0.01 + 0.81) = 0.18
Gini(女孩)=1−((101)2+(109)2)=1−(0.01+0.81)=0.18
总体Gini指数为：
G
i
n
i
(
总体
)
=
10
20
×
0.18
+
10
20
×
0.18
=
0.18
Gini(总体) = \frac{10}{20} \times 0.18 + \frac{10}{20} \times 0.18 = 0.18
Gini(总体)=2010×0.18+2010×0.18=0.18
计算熵
接下来计算每个分支的熵：
E n t r o p y ( 男孩 ) = − ( 9 10 log 2 9 10 + 1 10 log 2 1 10 ) = − ( 9 10 × ( − 0.152 ) + 1 10 × 3.321 ) = 0.469 Entropy(男孩) = -(\frac{9}{10} \log_2 \frac{9}{10} + \frac{1}{10} \log_2 \frac{1}{10})=-(\frac{9}{10} \times (-0.152) + \frac{1}{10} \times 3.321) = 0.469 Entropy(男孩)=−(109log2109+101log2101)=−(109×(−0.152)+101×3.321)=0.469
E n t r o p y ( 女孩 ) = − ( 1 10 log 2 1 10 + 9 10 log 2 9 10 ) = 0.469 ( 同样的计算过程 ) Entropy(女孩) = -(\frac{1}{10} \log_2 \frac{1}{10} + \frac{9}{10} \log_2 \frac{9}{10})=0.469(同样的计算过程) Entropy(女孩)=−(101log2101+109log2109)=0.469(同样的计算过程)
总体熵为：
E
n
t
r
o
p
y
(
总体
)
=
10
20
×
0.469
+
10
20
×
0.469
=
0.469
Entropy(总体) = \frac{10}{20} \times 0.469 + \frac{10}{20} \times 0.469 = 0.469
Entropy(总体)=2010×0.469+2010×0.469=0.469
比较和结论
与第一个问题相比（在那里我们得到了总体Gini指数为0.5和总体熵为1），第二个问题的Gini指数和熵都明显降低，说明这个问题能更有效地区分小朋友对水果的喜好。降低的Gini指数和熵值表示在分裂后的子集纯度更高，每组中几乎都是喜欢同一种水果的小朋友。因此，这个属性（性别）更适合用来划分数据，达到更高的预测准确性和效率。
但是我还是想说，实际应用中他俩没有什么显著的区别
非常的有品
以上