数学小报4 - 三次方程的求根公式 Quadratic Formula
0. 前言
完整内容同步发表于 https://www.luogu.com.cn/article/79arkxnx
抓虫：(初二人均列文虎克)
- 在 2.3 篇章中最后一句应为 “到第 m m m 次就有 n − m + 1 \color{red}{n-m+1} n−m+1 种选择，根据乘法原理，就有了 上述 \color{red}上述 上述公式。”
1. 思考
我们学习过一元二次方程的求根公式 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac，思考是否存在一元三次方程的求根公式，便展开讨论。
**补充: ** ω 2 + ω + 1 = 0 \omega^2+\omega+1=0 ω2+ω+1=0 且 ω 3 = 1 \omega^3=1 ω3=1，将 ω \omega ω 称为 1 1 1 的三次单位根。
2. 证明 卡尔丹公式证明
设一元三次方程 a y 3 + b y 2 + c y + d = 0 ( 1 ) ay^3+by^2+cy+d=0~~(1) ay3+by2+cy+d=0 (1)
令 y = x − b 3 a y=x-\frac{b}{3a} y=x−3ab，代入得： x 3 − b 2 − 3 a c 3 a 2 x + a b 3 − 9 b c + 27 a 2 d 27 a 3 = 0 ( 2 ) x^3-\frac{b^2-3ac}{3a^2}x+\frac{ab^3-9bc+27a^2d}{27a^3}=0~~(2) x3−3a2b2−3acx+27a3ab3−9bc+27a2d=0 (2)
令 p = b 2 − 3 a c 3 a 2 ， q = a b 3 − 9 b c + 27 a 2 d 27 a 3 p=\frac{b^2-3ac}{3a^2}，q=\frac{ab^3-9bc+27a^2d}{27a^3} p=3a2b2−3ac，q=27a3ab3−9bc+27a2d，则 x 3 − p x + q = 0 ( 3 ) x^3-px+q=0~~(3) x3−px+q=0 (3)
令 x = u + v x=u+v x=u+v，代入至 (3) 式得： u 3 + v 3 + ( 3 u v − p ) ( u + v ) + q = 0 ( 4 ) u^3+v^3+(3uv-p)(u+v)+q=0~~(4) u3+v3+(3uv−p)(u+v)+q=0 (4)
令 3 u v − p = 0 3uv-p=0 3uv−p=0 即 u v = p 3 uv=\frac{p}{3} uv=3p，代入 (4) 式得： u 3 + v 3 = − q ( 5 ) u^3+v^3=-q~~(5) u3+v3=−q (5)
∴
u
3
×
v
3
=
p
3
27
(
6
)
\therefore u^3\times v^3=\frac{p^3}{27}(6)
∴u3×v3=27p3(6)
联立
(
5
)
和
(
6
)
式得
:
{
u
3
+
v
3
=
−
q
u
3
×
v
3
=
−
q
3
27
即
{
u
3
=
−
q
2
+
q
2
4
−
p
3
27
v
3
=
−
q
2
−
q
2
4
−
p
3
27
联立 (5) 和 (6)式得: \left\{ \begin{matrix} u^3+v^3=-q\\ u^3\times v^3=-\frac{q^3}{27}\\ \end{matrix} \right. 即 \left\{ \begin{matrix} u^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\ v^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}\\ \end{matrix} \right.\\
联立(5)和(6)式得:{u3+v3=−qu3×v3=−27q3即⎩
⎨
⎧u3=−2q+4q2−27p3v3=−2q−4q2−27p3
∴
u
=
{
−
q
2
+
q
2
4
−
p
3
27
3
−
q
2
+
q
2
4
−
p
3
27
3
⋅
ω
−
q
2
+
q
2
4
−
p
3
27
3
⋅
ω
2
v
=
{
−
q
2
−
q
2
4
−
p
3
27
3
−
q
2
−
q
2
4
−
p
3
27
3
⋅
ω
−
q
2
−
q
2
4
−
p
3
27
3
⋅
ω
2
∵
u
v
=
p
3
∴
x
=
{
−
q
2
+
q
2
4
−
p
3
27
3
+
−
q
2
−
q
2
4
−
p
3
27
3
−
q
2
+
q
2
4
−
p
3
27
3
⋅
ω
+
−
q
2
−
q
2
4
−
p
3
27
3
⋅
ω
2
−
q
2
+
q
2
4
−
p
3
27
3
⋅
ω
2
+
−
q
2
−
q
2
4
−
p
3
27
3
⋅
ω
\therefore u=\left\{ \begin{matrix} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\ \end{matrix} \right. v=\left\{ \begin{matrix} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}} \\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\ \end{matrix} \right.\\ ~\\ \because uv=\frac{p}{3}\\ ~\\ \therefore x=\left\{ \begin{matrix} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2\\ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega^2+ \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27}}}·\omega\\ \end{matrix} \right.\\
∴u=⎩
⎨
⎧3−2q+4q2−27p33−2q+4q2−27p3⋅ω3−2q+4q2−27p3⋅ω2v=⎩
⎨
⎧3−2q−4q2−27p33−2q−4q2−27p3⋅ω3−2q−4q2−27p3⋅ω2 ∵uv=3p ∴x=⎩
⎨
⎧3−2q+4q2−27p3+3−2q−4q2−27p33−2q+4q2−27p3⋅ω+3−2q−4q2−27p3⋅ω23−2q+4q2−27p3⋅ω2+3−2q−4q2−27p3⋅ω
Q.E.D
3. 总结
对于一元三次方程有三个解。思考：一元二次方程有自己的判别式，判别式的目的在于让我们判断解的数量以及是否存在，那么在一元三次方程中是否也有判别式呢？其实是有的： Δ = q 2 4 − p 3 27 \Delta=\frac{q^2}{4}-\frac{p^3}{27} Δ=4q2−27p3。
| 条件 | 根的情况 |
|---|---|
| Δ > 0 \Delta>0 Δ>0 | 方程有一个实根和一对共轭虚根 （即 a + b i a+bi a+bi 和 a − b i a-bi a−bi， i = − 1 i=\sqrt{-1} i=−1） |
| Δ = 0 \Delta=0 Δ=0 且 p q ≠ 0 pq \neq 0 pq=0 | 方程有一个两重实根（两个相等的实根）和一个单重实根 |
| Δ < 0 \Delta<0 Δ<0 | 方程有三个互异实根 |
| p = q = 0 p=q=0 p=q=0（特殊） | 方程有一个三重实根（三个相等的实根） |
4. 补充说明
同学们马上要迎来人生中的第一次大考——小中考，在这里祝大家小中考全部拿下，考的全会，蒙的全对。在初二最后的几天时光里，为自己拼博一把，不负自己的努力！
在网页中附赠了另一种解法并且附赠了额外内容。另一个做法源自双十图书馆一本书里，名字是《数 ± \pm ± 学=(女 × \times × 孩) 5 ^5 5 伽瓦罗定理》，编号：O1 / J169，有兴趣的同学可以去看看。