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矩阵1-范数与二重求和的求和可交换

1、矩阵1-范数

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

$$||A|{|}_{m1}=\sum _{i=1}^n(\sum _{j=1}^n|a_{ij}|)=\sum _{j=1}^n(\sum _{i=1}^n|a_{ij}|)$$

2、二重求和的求和符号可交换

对于矩阵1-范数而言，求和符号交换前后是按行求和与按列求和的区别。本质上都是把每个元素取模并相加。

再讨论一个例子，自相关函数$r(m)$。

对于一个广义平稳离散时间随机过程$u(n)$而言，其自相关函数定义为：
r ( m ) = E { u ( n ) u ∗ ( n − m ) } = ∫ ∫ u ( n ) u ∗ ( n − m ) p ( u n , u n − m ; n , n − m ) d u n d u n − m r(m) = E\{u(n)u^*(n-m)\} = \int\int u(n)u^*(n-m)p(u_n,u_{n-m};n,n-m)\mathrm{d}u_n \mathrm{d}u_{n-m} r(m)=E{u(n)u∗(n−m)}=∫∫u(n)u∗(n−m)p(un​,un−m​;n,n−m)dun​dun−m​
其中$E$​是求期望，$p()$表示联合概率密度函数。积分范围是$u(n)$的值域，作为离散时间信号，值域不一定是离散的，值域经过量化后称为“数字信号”。

假设观测了N个采样点，那么可以得到$u(n)$的离散傅立叶变换DFT：
$$U(k)=\sum _{n=0}^{N-1}u(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$
在信号处理领域，通常会从0开始编号，也比较符合实际，电路采样一般从一个时钟上升边沿开始算起。

当我们考虑$U(k)$的自相关函数的时候：
r U ( m ) = E { U ( k ) U ∗ ( k − m ) } = E { ∑ n = 0 N − 1 u ( n ) e − j 2 π N k n ∑ l = 0 N − 1 u ( l ) e j 2 π N ( k − m ) l } r_U(m) = E\{U(k)U^*(k-m)\} = E\{\sum_{n=0}^{N-1} u(n) e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\sum_{l=0}^{N-1} u(l) e^{j\frac{2\pi}{N}(k-m)l}\} rU​(m)=E{U(k)U∗(k−m)}=E{n=0∑N−1​u(n)e−jN2π​knl=0∑N−1​u(l)ejN2π​(k−m)l}
注意到这里出现了两个和相乘的形式，那么根据多项式乘法规则，应该得到$N^2$项之和。

这个时候就可以写成：
r U ( m ) = E { ∑ n = 0 N − 1 ∑ l = 0 N − 1 u ( n ) u ( l ) e − j 2 π N k n e j 2 π N ( k − m ) l } r_U(m) =E\{\sum_{n=0}^{N-1} \sum_{l=0}^{N-1} u(n)u(l) e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} e^{j\frac{2\pi}{N}(k-m)l}\} rU​(m)=E{n=0∑N−1​l=0∑N−1​u(n)u(l)e−jN2π​knejN2π​(k−m)l}

抽象一下：

考虑两个序列$a=(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^T$和$b=(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^T$的1-范数相乘，
$$||a|{|}_1\cdot ||b|{|}_1=\sum _{i=1}^n|a_i|\sum _{j=1}^n|b_j|=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n|a_i||b_j|=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n|a_i{b}_j|$$
实际上可以表示成一个矩阵：
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_1{b}_1& a_1{b}_2& \cdots & a_1{b}_n\\ a_2{b}_1& a_2{b}_2& \cdots & a_2{b}_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_n{b}_1& a_n{b}_2& \cdots & a_n{b}_n\end{array}\right]$$

再考虑这个问题的反面，即有没有二重求和是不能交换求和顺序的呢？

对于数值函数的二重积分，二重积分的值与积分次序无关要求积分区域既可表示成X-型区域，又可表示成Y-型区域。

对于二重求和而言，相当于对于一个矩形区域，变积分为求和。所以对于大多数情况而言，二重求和都是可以交换求和顺序的。（没有说得很绝对，因为这还仅仅是我自己的考虑，没有去考证）