逻辑函数运算基础

基本公式

①:交换律 A+B=B+A

②:结合律 (A + B) + C = A + (B + C)

③:分配律 A(B + C)=AB + AC

④:重音律: A + A +...+ A = A | A…A = A

⑤:互补律: A+Ā= 1 | AĀ = 0

⑥:还原律 $eq?%5Coverline%7B%5Coverline%7BA%7D%7D%20%3D%20A$

⑦:摩根定律: $eq?%5Coverline%7BAB%7D%20%3D%20%5Coverline%7BA%7D%20+%20%5Coverline%7BB%7D$

$\overline{A+B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$

①:吸收率 A + AB=A

（证：A(1＋B）＝A ）

②:消因子公式 A + ĀB=A+B

（证：A(B + 1) + (ĀB)= A + B )

③并项公式 ĀB + ĀB = B

（证：B(A + Ā) = B )

④消项公式 AB + ĀC + BC = AB + ĀC (这里的BC被称作冗余项)

（证：AB + AC +(A + Ā)BC =AB + AC + ĀBC + ABC = AB(1 + C)+ĀC(B + 1) =AB + ĀC )

在逻辑函数的运算中卡诺图是一个很好的辅助工具，它便于理解，在化简(最简与或式/最简或与式)时可以大大降低化简的难度。

真值表:

逻辑函数:

$eq?%5Coverline%7BAB%7D%20+%20%5Coverline%7BA%7DB+A%5Coverline%7BB%7D+AB$

如上图所示，图中的AND表示最小项，左侧(A , B)表示输入，O表示输出，上图有两个变量因此有 $eq?2%5E%7B2%7D%20%3D%204$ 个最小与非式，同理三个变量时为 $eq?2%5E%7B3%7D%20%3D%208$ 个。

我们知道了最小与非式后，就可以画出卡诺图(表示AB不同取值为1的逻辑函数)。

由于变量数量多时写逻辑函数表达式不易阅读，因此表示 $eq?m_%7B0%7Dm_%7B1%7Dm_%7B2%7Dm_%7B3%7Dm_%7B4%7Dm_%7B5%7Dm_%7B6%7D......$

不难发现卡诺图中元素的存放顺序是按格雷码（循环码）排列的，行列参数拼起来后二进制的值就是 $eq?m_%7Ba%7D$ 对应的下标a。(如：0111位置用 $eq?m_%7B7%7D$ 表示)

真值表:

$eq?A$	$eq?B$	$eq?O$	OR
$eq?0$	$eq?0$	$eq?0$	$eq?A%20+%20B$
$eq?0$	$eq?1$	$eq?0$	$eq?A+%20%5Coverline%7BB%7D$
$eq?1$	$eq?0$	$eq?0$	$eq?%5Coverline%7BA%7D%20+%20B$
$eq?1$	$eq?1$	$eq?0$	$eq?%5Coverline%7BA%7D+%5Coverline%7BB%7D$