个人技术分享

【数学】三角函数相关

目录

一、三角函数

二、诱导公式

1.介绍

2.示例

三、其它重要公式

ID：HL_5461

一、三角函数

对于如图所示三角形：

三角函数 公式表达 其它关系
正弦函数 sin\theta =\frac{A}{C} /
余弦函数 cos\theta =\frac{B}{C} /
正切函数 tan\theta =\frac{A}{B} =\frac{sin\theta }{cos\theta }
余切函数 cot\theta = \frac{B}{A} =\frac{1}{tan\theta }
正割函数 sec\theta =\frac{C}{B} =\frac{1}{cos\theta }
余割函数 csc\theta = \frac{C}{A} =\frac{1}{sin\theta }

二、诱导公式

1.介绍

奇变偶不变，符号看象限

对于一个角度\theta =\frac{k\pi }{2}\pm \alpha的三角函数：

k为奇数，正变余，余变正；k为偶数，则不变。

添上将\alpha看做锐角时原三角函数值的正负号（如下图按三角函数公式看正负）

2.示例

例1：对于cos(\frac{3\pi }{2}-\alpha )

k=3为奇数，变为sin。

将\alpha看做锐角，\theta =\frac{3\pi }{2}-\alpha落在第三象限，

此时A<0,B<0,C>0\Rightarrow cos\theta =\frac{B}{C}<0，所以变换后前面添负号

\therefore cos(\frac{3\pi }{2}-\alpha )=-sin\alpha

例2：对于tan(\frac{2\pi }{2}+\alpha )

k=2为偶数，不变，还是tan。

将\alpha看做锐角，\theta =\frac{2\pi }{2}+\alpha落在第三象限，

此时A<0,B<0,C>0\Rightarrow tan\theta =\frac{A}{B}>0，所以变换后仍然为正

\therefore tan(\frac{2\pi }{2}+\alpha )=tan\alpha

例3：对于sin(\frac{\pi }{2}+\alpha )

k=1为奇数，变为cos。

将\alpha看做锐角，\theta =\frac{\pi }{2}+\alpha落在第二象限，

此时A>0,B<0,C>0\Rightarrow sin\theta =\frac{A}{C}>0，所以变换后仍然为正

\therefore sin(\frac{\pi }{2}+\alpha )=cos\alpha

三、其它重要公式

两角和差 sin(\alpha \pm \beta ) =sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta
cos(\alpha \pm \beta ) =cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta

tan(\alpha \pm\beta ) = \frac{tan\alpha \pm tan\beta }{1\mp tan\alpha \cdot tan\beta }

二倍角 sin2\alpha =2sin\alpha \cdot cos\alpha
cos2\alpha = cos^2\alpha -sin^2\alpha
2cos^2\alpha -1
1-2sin^2\alpha
tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-tan^2\alpha }
万能公式 sin2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1+tan^2\alpha }
cos2\alpha =\frac{1-tan^2\alpha }{1+tan^2\alpha }
tan2\alpha =\frac{2tan\alpha }{1-tan^2\alpha }
其它 sin^{2}\theta +cos^2\theta =1
sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2}[cos(\alpha+ \beta )-cos(\alpha -\beta )]
cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[cos(\alpha+ \beta )+cos(\alpha -\beta )]
sin\alpha cos\beta = \frac{1}{2}[sin(\alpha+ \beta )+sin(\alpha -\beta )]
sin\alpha +sin\beta = 2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}
cos\alpha +cos\beta = 2cos\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}
cos\alpha -cos\beta =- 2sin\frac{\alpha +\beta }{2}sin\frac{\alpha -\beta }{2}