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[NOIP2009 提高组] 最优贸易

题目描述

$C$ 国有 $n$ 个大城市和 $m$ 条道路，每条道路连接这 $n$ 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 $m$ 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 $1$ 条。

$C$ 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 $C$ 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 $C$ 国 $n$ 个城市的标号从 $1\sim n$，阿龙决定从 $1$ 号城市出发，并最终在 $n$ 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 $n$ 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 $C$ 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 $C$ 国有 $5$ 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 $1\sim n$ 号城市的水晶球价格分别为 $4,3,5,6,1$。

阿龙可以选择如下一条线路：$1\to 2\to 3\to 5$，并在 $2$ 号城市以 $3$ 的价格买入水晶球，在 $3$ 号城市以 $5$ 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 $2$。

阿龙也可以选择如下一条线路：$1\to 4\to 5\to 4\to 5$，并在第 $1$ 次到达 $5$ 号城市时以 $1$ 的价格买入水晶球，在第 $2$ 次到达 $4$ 号城市时以 $6$ 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 $5$。

现在给出 $n$ 个城市的水晶球价格，$m$ 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入格式

第一行包含 $2$ 个正整数 $n$ 和 $m$，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 $n$ 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 $n$ 个城市的商品价格。

接下来 $m$ 行，每行有 $3$ 个正整数 $x,y,z$，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 $z=1$，表示这条道路是城市 $x$ 到城市 $y$ 之间的单向道路；如果 $z=2$，表示这条道路为城市 $x$ 和城市 $y$ 之间的双向道路。

输出格式

一个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 $0$。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 
4 3 5 6 1 
1 2 1 
1 4 1 
2 3 2 
3 5 1 
4 5 2

样例输出 #1

5

提示

【数据范围】

输入数据保证 $1$ 号城市可以到达 $n$ 号城市。

对于 $10\%$ 的数据，$1\le n\le 6$。

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n\le 100$。

对于 $50\%$ 的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 100000$，$1\le m\le 500000$，$1\le x,y\le n$，$1\le z\le 2$，$1\leq $ 各城市的编号 $\le n$。

水晶球价格 $\le 100$。

NOIP 2009 提高组 第三题

代码

//由于本题是权重在点上，因此用不了最短路算法，但我们可以试着用dp的思维来做，先转化成dp，再由dp转化会最短路问题

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 2000010;

int n,m;
int hs[N],ht[M],e[M],ne[M],h[M],idx;
int w[N];//存放价格
int dmin[N],dmax[N];
int q[N];
bool st[N];

void add(int h[],int a,int b){
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void spfa(int h[],int dist[],int type){
    int hh=0,tt=1;
    if(type==0){
        memset(dist,0x3f,sizeof dmin);
        dist[1]=w[1];
        q[0]=1;
    }else{
        memset(dist,-0x3f,sizeof dmax);
        dist[n]=w[n];
        q[0]=n;
        
    }
    
    while(hh!=tt){//必须是不等于
        int t=q[hh++];
        if(hh==N)hh=0;
        
        st[t]=false;
        
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i]){
            int j=e[i];
            if(type==0&&dist[j]>min(dist[t],w[j])||type==1&&dist[j]<max(dist[t],w[j])){
                if (type == 0) dist[j] = min(dist[t], w[j]);
                else dist[j] = max(dist[t], w[j]);
                if(!st[j]){
                    q[tt++]=j;
                    if(tt==N) tt=0;
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&w[i]);
    
    memset(hs,-1,sizeof hs);
    memset(ht,-1,sizeof ht);
    
    while(m--){
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(hs,a,b),add(ht,b,a);
        if(c==2)add(hs,b,a),add(ht,a,b);
    }
    
    spfa(hs,dmin,0);
    spfa(ht,dmax,1);
    
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,dmax[i]-dmin[i]);
    
    printf("%d",res);
    return 0;
}