白话机器3：PCA与SVM详细数学原理

一、数学原理

1.数据标准化

首先，需要对原始数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1。假设有一个的数据矩阵X，其中每一列是一个样本，每一行是一个特征。

标准化公式如下：

$x_{ij}^{'} = \frac{x_{ij} - \mu_j}{\sigma_j}$

其中， $x_{ij}$ 是原始数据矩阵X中的元素， $\mu_j$ 是第j个特征的均值， $\sigma_j$ 是第j个特征的标准差， $x_{ij}^{'}$ 是标准化后的数据，标准化后的数据矩阵是 $X^{'}$ 。

2.计算协方差矩阵

接下来，我们需要计算标准化后数据矩阵的协方差矩阵。协方差矩阵是一个对称矩阵，它描述了数据中不同特征之间的线性关系。

协方差矩阵的计算公式如下：

$C = \frac{1}{n-1} X^{'} X^{'T}$

其中，n 是样本数量， $X^{'}$ 是标准化后的数据矩阵， $X^{'T}$ 是 $X^{'}$ 的转置。

对协方差矩阵的理解：

协方差矩阵听起来可能有点复杂，但其实它的概念很直观。想象一下，你有两个朋友，一个叫小明，另一个叫小华。他们都喜欢玩滑板，但他们的滑板技巧可能不一样。有时候，小明滑得好，小华也滑得好；有时候，小明滑得不好，小华也滑得不好。这种情况下，我们说他们的滑板技巧是“正相关”的。但也有可能，小明滑得好的时候，小华滑得不好；小明滑得不好的时候，小华反而滑得好。这种情况下，我们说他们的滑板技巧是“负相关”的。

协方差矩阵就是用来描述这种“相关性”的数学工具。它是一个表格，里面记录了多个变量（比如小明和小华的滑板技巧）之间的相互关系。如果两个变量一起变好或变坏，协方差矩阵会显示一个正数；如果一个变量变好时另一个变量变坏，协方差矩阵会显示一个负数。这个矩阵还能告诉我们每个变量自身的变化情况，就像小明自己的滑板技巧有多稳定一样。

所以，协方差矩阵就像是一个“相关性地图”，帮助我们理解不同变量是如何一起变化的。在数据分析和统计学中，这个工具非常有用，因为它能帮助我们洞察数据背后的模式和关系。

3.计算特征值和特征向量

协方差矩阵的特征值和特征向量可以通过求解特征方程得到：

$|C - \lambda I| = 0$

其中， $\lambda$ 是特征值， $I$ 是单位矩阵。

对于每个特征值 $\lambda_i$ ，我们可以找到对应的特征向量 $v_i$ ，满足：

$(C - \lambda_i I) v_i = 0$

对协方差矩阵的特征值与特征向量的理解：

想象一下，你有一堆彩色的小球，每个小球都有自己的颜色和大小。现在，你想把这些小球整理得更加有序，让它们看起来更整齐，更易于观察。PCA（主成分分析）就像是一个整理小球的工具，而协方差矩阵的特征值和特征向量就是帮助我们整理小球的关键。

首先，我们用协方差矩阵来描述这些小球的颜色和大小之间的关系。特征值和特征向量就像是这些关系的“指南针”。特征向量告诉我们小球应该如何排列，才能让它们的颜色和大小的变化最大程度地展现出来。而特征值则告诉我们每个特征向量所代表的变化有多重要。

在PCA中，我们寻找最大的特征值对应的特征向量，因为这些特征向量指向的方向能让小球的颜色和大小的变化最明显。我们把这些方向叫做“主成分”。通过把这些小球沿着这些主成分方向重新排列，我们就能把小球的颜色和大小的变化最大程度地展现出来，同时减少需要观察的维度。

简单来说，特征值和特征向量在PCA中的作用就是帮助我们找到最能代表数据变化的方向，让我们能够更有效地整理和分析数据，就像把一堆杂乱的小球整理成有序的队列一样。

4.选择主成分

特征值的大小代表了对应特征向量方向上的方差大小。我们通常选择最大的几个特征值(差异性最大的特征)对应的特征向量作为主成分，因为它们包含了数据中的大部分信息。

5.数据投影

最后，我们将原始数据矩阵X投影到选定的主成分上，得到降维后的数据矩阵。

投影公式如下：

$Y = X^{'} v_1$

其中， $Y$ 是降维后的数据矩阵， $v_1$ 是最大的特征值对应的特征向量。

二、代码实现

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import make_classification
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# 目标：（100, 6）———>（100， 3）
# 生成一个随机的二分类数据集，具有6个特征
X, y = make_classification(n_samples=100, n_features=6, n_informative=3, n_redundant=0, random_state=42)

# 原始数据的二维可视化（只使用前两个特征）
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
colors = ['navy', 'turquoise']

for color, i, target_name in zip(colors, [0, 1], ['class 0', 'class 1']):
    plt.scatter(X[y == i, 0], X[y == i, 1], color=color, alpha=.8, lw=2, label=target_name)

plt.legend(loc='best', shadow=False, scatterpoints=1)
plt.title('Visualization of the original dataset (first two features)')
# 选两个特征绘图

# 初始化PCA，设置降至3维
pca = PCA(n_components=3)

# 对数据进行降维
X_r = pca.fit_transform(X)

# 降维后的数据3D可视化
ax = plt.subplot(1, 2, 2, projection='3d')

for color, i, target_name in zip(colors, [0, 1], ['class 1', 'class 2']):
    ax.scatter(X_r[y == i, 0], X_r[y == i, 1], X_r[y == i, 2], color=color, alpha=.8, lw=2, label=target_name)

plt.legend(loc='best', shadow=False, scatterpoints=1)
ax.set_title('PCA of the dataset (3 components)')

plt.show()

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