个人技术分享

1. 基础知识

本节主要内容是关于基变换的，从一组基变换到另外一组基中，这是在实际应用中会遇到，我们会在项目中讲到因为基的变换而引申出来的信号压缩，图像压缩问题。本质上其实都是基变换而引申出来的应用，基变换很强大也很重要。本章的主题是线性变换与矩阵的关联，线性变换不一定是在坐标系中进行变换，矩阵用坐标来表示线性变换，图像压缩也存在基的变换。

2. 图像向量

我们平常收到的视频图像是非常大的，我们在传输过程中不可能将原始图像进行传输，这样对于网络的负载太大了，我们需要将图像进行压缩打包后再发送，最后在我们显示的时候解压缩进行图像的还原，这样我们就能够高效的进行图像的传递和播放。

• 情况一：长度为512*512的向量
  一个图像就是一个向量，包含图像的信息，如果是灰度图像，我们得到了一个长度为512*512的向量[线性代数中默认是列向量]，向量里面的元素值为$0\le x_i\le 255$,如果是彩色图片，长度为3*512*512；
  我们发现一个问题，假如我们有一张单独的空黑板图片，也就是所有的像素灰度一样。如果我们单独的去看一个像素是没有任何意义的，我们需要取出图像中的一块小区域当做一个特征来看待，这样我们就能学到相关的纹理信息。
• 标准基:每个$x_i$表示为第i个像素的值，这样特别浪费维度，$x_i$太多了，且每个像素$x_i^T{x}_j=0$无相关性，无法提取到好的特征。
  $$\begin{array}{c}{x}_0=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 0\\ \\ ⋮\\ \\ 0\end{array}\right],x_1=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 1\\ \\ ⋮\\ \\ 0\end{array}\right],\cdots ,x_n=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ ⋮\\ \\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
• 比较好的基，$x_0:$全局为1的基，可以看到全局信息，$x_1:$ 1,-1的交互基，可以看到高频信号，噪声等信息
  $$\begin{array}{c}{x}_0=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ ⋮\\ \\ 1\end{array}\right],x_1=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ -1\\ \\ ⋮\\ \\ 1\\ \\ -1\end{array}\right]\end{array}$$
• 我们不希望用单独的像素作为基，这样太孤立了，我们希望以特征的形式来当做基，这样我们能更好的理解和处理图像信息。

3. 图像压缩

一开始，我们用一个512*512长的向量来表示一个图像，这个一维向量太长了，并且每个像素单独看，不利于进行图像的理解，这里我们用长8，宽8共64个像素区域来对512*512的图像进行分块处理，在保证图像信息不丢失的情况下，这种切块处理叫做 无损压缩处理：

3.1 傅里叶复数基

• 以长8,宽8共64个像素作为块进行压缩，通常我们用8*8的傅里叶基作为标准基
  $$\begin{array}{c}{w}_8^i={\mathrm{e}}^{\frac{2\pi }{8}i}\end{array}$$
  $$\begin{array}{c}{F}_0=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\end{array}\right],F_1=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ w_8^1\\ \\ w_8^2\\ \\ w_8^3\\ \\ w_8^4\\ \\ w_8^5\\ \\ w_8^6\\ \\ w_8^7\end{array}\right],F_2=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ w_8^2\\ \\ w_8^4\\ \\ w_8^6\\ \\ w_8^8\\ \\ w_8^{10}\\ \\ w_8^{12}\\ \\ w_8^{14}\end{array}\right],F_3=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ w_8^3\\ \\ w_8^6\\ \\ w_8^9\\ \\ w_8^{12}\\ \\ w_8^{15}\\ \\ w_8^{18}\\ \\ w_8^{21}\end{array}\right],F_4=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ w_8^4\\ \\ w_8^8\\ \\ w_8^{12}\\ \\ w_8^{16}\\ \\ w_8^{20}\\ \\ w_8^{24}\\ \\ w_8^{28}\end{array}\right],F_5=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ w_8^5\\ \\ w_8^{10}\\ \\ w_8^{15}\\ \\ w_8^{20}\\ \\ w_8^{25}\\ \\ w_8^{30}\\ \\ w_8^{35}\end{array}\right],F_6=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ w_8^6\\ \\ w_8^{12}\\ \\ w_8^{18}\\ \\ w_8^{24}\\ \\ w_8^{30}\\ \\ w_8^{36}\\ \\ w_8^{42}\end{array}\right],F_7=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ w_8^7\\ \\ w_8^{14}\\ \\ w_8^{21}\\ \\ w_8^{28}\\ \\ w_8^{35}\\ \\ w_8^{42}\\ \\ w_8^{49}\end{array}\right],\end{array}$$

3.2 wavelet 小波变换基

$$\begin{array}{c}{w}_0=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\end{array}\right],w_1=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ -1\\ \\ -1\\ \\ -1\\ \\ -1\end{array}\right],w_2=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ -1\\ \\ -1\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right],w_3=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ -1\\ \\ -1\end{array}\right],w_4=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ -1\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right],w_5=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ 1\\ \\ -1\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right],w_6=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 1\\ \\ -1\\ \\ 0\\ \\ 0\end{array}\right],w_7=\left[\begin{array}{c}0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 0\\ \\ 1\\ \\ -1\end{array}\right],\end{array}$$

• 有损压缩&无损压缩
  
• 什么是好的基？
  好的基要满足如下条件：1. 计算逆特别快，比如傅里叶复数基和小波变换基，直接转置就可以得到逆矩阵. 2.
• W:为新的基的列向量，C为新的基的系数
  $$\begin{array}{c}{X}_{old-bias}=W{C}_{new-bias}\end{array}$$
• 假设有一个确定的线性变换T，对于同一个线性变换来说，有一组基$v_1,v_2,\cdots ,v_8$组成矩阵A，另外有一组基$w_1,w_2,\cdots ,w_8$组成矩阵B,那么A与B之间的关系？
  $$\begin{array}{c}{M}^{-1}AM\Rightarrow B\sim A\end{array}$$
  $$\begin{array}{c}B=M^{-1}AM\Rightarrow B\sim A\end{array}$$